RSS

HITUNG VEKTOR

07 Oct

3.1 Berapa besarnya? Ke mana arahnya?

Tujuan pembelajaran :

  1. Memahami kaidah-kaidah hitung vektor.

  1. Dapat menerapkannya da-lam penyelesaian masalah yang melibatkan besaran-besaran vektor.

Anda sedang bepergian. Tiba-tiba ponsel anda berdering. Setelah anda mengang-katnya ternyata telepon dari ibu anda di rumah yang menanyakan keberadaan atau posisi anda saat itu. Lalu anda katakan bahwa anda berada di suatu tempat yang berjarak 30 km dari kota Yogyakarta. Cukupkah apa yang anda sampaikan itu bagi ibunda sehingga beliau benar-benar mengetahui keberadaan anda saat itu? Betul sekali … informasi yang anda berikan belumlah mencukupi. Klaten, Parangtritis, Muntilan, … semuanya berjarak tiga puluh kilometer dari kota Yogyakarta. Tempat yang berjarak tiga puluh kilometer dari kota Yogya tidak hanya satu. Banyak sekali. Bahkan sebanyak titik-titik pada lingkaran yang berjari-jari 30 km. Ibu anda masih membutuhkan satu informasi lagi. Apa itu? Arah. Sekali lagi … arah. Jika saat itu anda berada di antara Yogya dan Wonosari, maka anda katakan “Saya ada di suatu tempat yang berjarak 30 km dari kota Yogya ke arah tenggara.“ Maka ibu anda akan segera memahami di manakah anda berada.

Demi keselamatan kapalnya, seorang nahkoda kapal perlu menyampaikan berbagai informasi tentang kapalnya kepada navigator. Terutama ketika sedang berlayar di wilayah yang kedalaman lautnya sangat bervariasi atau di perairan tempat pulau-pulau karang bertebaran. Informasi yang disampaikan berkaitan bukan saja dengan posisi kapal melainkan juga kecepatannya. Pemberitahuan dari nahkoda kapal bahwa kapalnya sedang bergerak dengan laju 60 knot belumlah cukup bagi seorang navigator. Ada satu hal yang masih diperlukan, yakni arah pergerakan kapal.

Mungkin anda sudah bosan dengan tata letak perkakas di kamar tidur anda. Maka anda perlu merubahnya. Tetapi jangan lupa untuk selalu memperhitungkan pencahayaan dan pengudaraan agar anda merasa nyaman selama anda berdiam di sana. Untuk merubah letak perabot-perabot kamar, anda tidak dapat melakukannya sendirian sebab ada perabot-perabot yang cukup berat untuk diangkat ataupun didorong sendirian. Anda memerlukan bantuan orang lain, misalnya adik, kakak, bapak ataupun ibu anda. Ketika anda memberi komando kepada mereka untuk melakukan dorongan, maka tidak cukup kalau anda hanya mengatakan,“Dorong yang keras!“. Sebab bisa jadi dorongan yang mereka lakukan justru melawan dorongan yang anda berikan. Anda perlu mengatur kemana mereka harus melakukan dorongan. Jadi, sekali lagi, arah sangat menentukan.

Posisi, kecepatan dan dorongan atau gaya adalah besaran-besaran yang bukan saja ditentukan oleh besarnya (atau magnitude-nya), namun juga ditentukan oleh arahnya. Ketiganya termasuk besaran vektor. Ada dua pertanyaan yang selalu terkait dengan besaran vektor, yakni “Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“ Jika kedua pertanyaan itu semuanya telah berhasil anda jawab, maka anda telah memberikan informasi yang lengkap tentang besaran vektor yang anda sebutkan. Khusus untuk vektor yang besarnya nol, arah tidak begitu penting. Vektor yang besarnya nol disebut vektor nol dan dituliskan sebagai 0.

Sebuah besaran vektor dituliskan dengan huruf tebal. Besaran vektor posisi, misalnya, dituliskan dengan r, kecepatana dengan v, gaya dengan F, dan lain sebagainya. Bila A suatu besaran vektor, maka besar atau panjang dari A ditulis sebagai A atau |A|.

Untuk memudahkan, biasanya sebuah besaran vektor digambarkan (divisualisasikan) dengan sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan besar (magnitude) besaran vektor itu dan arah anak panah menunjukkan arah besaran vektor itu (lihat gambar 3.1). Dua anak panah dalam gambar 3.1 menggambarkan besaran vektor V dan dan besaran vektor W. Bila dimensi dari V dan W sama, maka kedua vektor itu dapat dibandingkan. Dalam gambar 3.1 anak panah yang mewakili W terlihat dua kali lebih panjang dibandingkan dengan anak panah yang mewakili V. Hal ini menunjukkan bahwa besar vektor W dua kali besar vektor V. Arah kedua anak panah itu sama, menandakan bahwa arah besaran vektor V sama dengan arah besaran vektor W.

3.2 Kesamaan dua besaran vektor

Jarak dari kota Klaten ke kota Yogya sama jauhnya dengan jarak Parangtritis ke kota Yogya. Namun kedua tempat itu memiliki posisi yang berbeda bila diukur dari kota Yogya karena kota Klaten berada di sebelah timur kota Yogya, sedangkan Parangtritis berada di sebelah selatan. Kota Kalasan pun berada di sebelah timur kota Yogya. Tetapi, karena jarak kota Kalasan ke kota Yogya kurang lebih hanya 10 km, maka posisi kota Kalasan berbeda dari posisi kota Klaten.

Ketika nahkoda kapal mengatakan bahwa kapalnya berada pada 105o BT dan 8o LS serta memiliki kecepatan 200 knot ke arah barat daya akan ditanggapi dengan agak santai oleh sang navigator sebab ia tahu bahwa kapal tersebut sedang berlayar menuju ke laut lepas. Berbeda halnya bila sang nahkoda memberi tahu bahwa kapalnya berada pada posisi tersebut di atas tetapi berlayar dengan kecepatan 200 knot ke arah timur laut. Informasi ini membuat sang navigator was-was sebab dari posisi itu ke arah timur laut terdapat pulau-pulau karang kecil yang sering tidak tampak di permukaan ketika laut sedang pasang. Anda melihat sendiri bahwa arah sangat berpengaruh dalam navigasi. Meskipun dua laporan sang nahkoda itu menyebutkan kelajuan yang sama, yakni sama-sama 200 knot, namun karena arahnya berbeda, maka sang navigator memberi tanggapan yang berbeda.

Dua buah besaran dikatakan sematra bila keduanya memiliki dimensi yang sama. Dua buah besaran yang sematra dapat dibandingkan satu dengan yang lain. Dari kedua contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama bila baik besar (magnitude) maupun arahnya sama. Dengan kata lain, dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama bila kedua pertanyaan “Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“ memiliki jawaban yang sama kalau diterapkan untuk kedua besaran itu.

Sebuah besaran (entah itu skalar maupun vektor) dikatakan konstan atau tetap bila besaran itu tidak berubah meskipun waktu terus berjalan. Jadi, suatu besaran skalar dikatakan konstan jika besarnya tidak berubah dengan berjalannya waktu. Cukup itu saja. Bagaimana dengan besaran vektor? Karena besaran vektor menyangkut dua aspek, yakni besar dan arah, maka suatu besaran vektor dikatakan konstan bila baik besar maupun arah besaran vektor itu tidak berubah. Posisi kota Klaten merupakan besaran vektor yang konstan. Tetapi posisi bus jurusan Yogya-Surabaya yang sedang melakukan perjalanan merupakan besaran vektor yang tidak konstan. Sebuah benda yang bergerak melingkar beraturan memiliki kelajuan yang sama, tetapi arahnya selalu berubah (lihat gambar 3.3). Oleh karena itu, benda itu memiliki kecepatan yang tidak tetap, meskipun besarnya kecepatan yang dimiliki oleh benda itu sama sepanjang waktu. Pada saat benda berada

pada posisi yang ditunjukkan oleh vektor posisi r1 benda memiliki kecepatan v1. Pada saat di posisi r2 benda memiliki kecepatan v2. Di posisi r3 benda memiliki kecepatan v3. Laju atau besarnya kecepatan benda pada masing-masing posisi itu sama. Tetapi karena arah kecepatan pada ketiga posisi itu berbeda, maka harus dikatakan bahwa kecepatan benda pada ketiga posisi di atas berbeda, yakni secara matematis ditulis sebagai

v1v2 v3.

3.3 Penjumlahan vektor

Sekarang andaikan anda menggeser ember dari suatu tempat di lantai kamar tengah anda yang ditandai dengan huruf Y ke suatu tempat yang ditandai dengan huruf K. Maka dari titik Y ember itu sekarang memiliki posisi yang diwakili oleh vektor posisi rK (lihat gambar 3.4). Bila kemudian anda menggesernya lagi sehingga ember itu berada pada titik yang ditandai dengan huruf P, maka ember itu sekarang terlihat memiliki posisi rP bila diukur dari titik Y dan rRK bila diukur dari ttik K. Jadi, posisi rP diperoleh dari posisi rK dengan menggeser ember sejauh rPK. Maka dikatakan bahwa vektor posisi rP merupakan hasil penjumlahan dari vektor rK dengan vektor pergeseran rPK dan ditulis sebagai

rP = rK + rPK (3.1)

rP

Secara umum bila V dan W dua buah besaran vektor yang sematra, maka hasil jumlahan besaran vektor V dan besaran vektor W adalah besaran vektor V + W yang juga sematra baik dengan besaran vektor V dan W. Vektor V + W secara diagram diperoleh dengan cara sebagai berikut : Pertama, menggeser vektor W (tanpa merubah arah) sedemikian rupa sehingga pangkal vektor W menempel pada ujung vektor V. Kedua, vektor V + W adalah vektor yang berpangkal pada pangkal vektor V dan berujung pada ujung vektor W (lihat gambar 3.5).

Gambar 3.6 menunjukan penjumlahan W + V. Dari gambar 3.5 dan 3.6 diperoleh gambar 3.7 yang memperlihatkan bahwa vektor W + V sama dengan vektor V + W atau

V + W = W + V. (3.2)

Dengan kata lain, penjumlahan vektor bersifat komutatif.

Gambar 3.6

Gambar 3.7

Tetapi … tunggu! Bagaimana cara menentukan besar dan arah vektor V + W? Tidak sulit! Sungguh! Andaikan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor V dan vektor W (lihat gambar 3.8)

Berdasarkan teorema Phytagoras, |V + W| (yakni besarnya vektor V + W) memenuhi persamaan

|V + W|2 = l2 + L2.

Padahal l diberikan oleh l = Vsin dan L oleh L = W + V cos , dengan V = |V| dan W = |W| berturut-turut merupakan besar vektor V dan W. Oleh karena itu

|V + W|2 = l2 + L2

= (V sin )2 + (W + V cos )2

= V2 sin2 + W2 + 2WV cos + V2 cos2 .

Karena V2 sin2 + V2 cos2 = V2 (sin2 + cos2 ) = V2 (Masih ingatkah anda bahwa sin2 + cos2 = 1?), maka

| V + W |2 = V2 + W2 + 2WV cos .

Jadi, didapatkan

|V + W| =. (3.3)

Jadi, secara umum, berlaku |V + W| V + W. Bila sudut = 0 (yakni bila vektor V sejajar dengan vektor W), maka cos = 1. Dalam kasus ini tentu saja | V + W | = V + W. Bila = 90 (yakni bila vektor V tegak lurus terhadap vektor W), maka cos = 0. Dalam hal ini berlaku teorema Phytagoras | V + W |2 = V2 + W2.

Gambar 2.6 memperlihatkan kepada kita bahwa arah vektor V + W, yakni sudut , dapat dihitung dari persamaan

sin = (3.4)

cos = . (3.5)

Latihan Konsep 3.3 :

  1. Bagaimana orang dapat menjumlahkan sebuah vektor dengan sebuah skalar?

  2. Apakah penjumlahan dua buah vektor selalu menghasilkan sebuah vektor yang lebih besar dibandingkan dengan dua vektor yang dijumlahkan itu?

  3. Bagaimanakah orang mengurangkan sebuah vektor dari vektor yang lain?

3.4 Perkalian vektor dengan skalar

Andaikan T dan K dua buah besaran vektor yang sematra dan keduanya searah satu dengan yang lain. Bedasarkan uraian di atas,

|T + K| = = T + K

dan vektor T + K membentuk sudut terhadap vektor K sedemikian rupa sehingga

sin =

cos = .

Jadi vektor T + K searah dengan vektor T maupun vektor K. Bila besarnya vektor K duakali besarnya vektor T (yakni K = 2T), maka |T + K| = 3T. Jadi, T + K adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan 3T dan searah dengan vektor T maupun vektor K. Dalam hal ini kemudian kita tuliskan T + K = 3T. Sebaliknya, perhatikanlah bahwa besarnya vektor T (yakni T) memenuhi persamaan

T = |T + K|.

Dengan kata lain, besarnya vektor T sepertiga kali besarnya vektor T + K. Jadi, vektor T adalah sebuah vektor yang searah dengan vektor T + K dan besarnya sepertiga kali besar vektor T + K. Dalam hal ini ditulis

T = (T + K).

Sekarang andaikan vektor H adalah sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor T dan besarnya tiga kali besar vektor T. Maka dengan mudah didapatkan bahwa vektor T + H adalah sebuah vektor yang panjangnya diberikan oleh

|T + H| = = = 2T.

Sudut yang dibentuk oleh vektor T + H dengan vektor T, yakni sudut , dihitung dari persamaan (3.4) dan (3.5). Hasilnya

sin = = 0

cos = .

Kedua persamaan terakhir menunjukkan bahwa = 180, yakni bahwa vektor T + H berlawanan arahnya terhadap vektor T. Jadi, vektor T + H merupakan vektor yang besarnya dua kali besar vektor T sedang arahnya berlawanan terhadap vektor T. Dalam hal ini, secara matematis dituliskan T + H = − 2T.

Secara umum jika V sembarang besaran vektor dan suatu skalar (bilangan riil), maka vektor V adalah vektor yang didefinisikan sebagai berikut :

  • jika = 0, maka V merupakan vektor nol,

  • jika < 0, maka V adalah vektor yang arahnya berlawanan terhadap vektor V sedangkan besarnya || kali besar vektor V,

  • jika > 0, maka V adalah vektor yang searah dengan vektor V sedangkan besarnya kali besar vektor V.

Khususnya untuk = −1, vektor −1V ditulis sebagai −V dan disebut sebagai lawan vektor V. Dalam hal ini muncul konsep pengurangan vektor : AB berarti sebuah vektor yang diperoleh dengan menjumlahkan vektor A dengan lawan vektor B. Jadi,

AB = A + (− B)

Andaikan a sebarang vektor (lihat gambar 3.9). Vektor satuan searah dengan a adalah vektor sa yang besarnya satu satuan searah dengan vektor a. Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa

sa = a, (3.6)

dengan a = |a|, yakni besarnya vektor a. Persamaan (3.6) menyatakan bahwa vektor sa merupakan perkalian vektor a dengan sekalar 1/a. Jadi, berdasarkan uraian sebelumnya, sa adalah sebuah vektor yang searah dengan vektor a dan besarnya 1/a kali besar vektor a, yakni

|sa| = |a| = .

Dari persamaan (2.6) terlihat bahwa a = asa.

3.4.1 Contoh-contoh

1. Kosmologi adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari penciptaan alam semesta ini. Salah satu teori yang mashur dalam kosmologi adalah Teori Keadaan Tunak (steady state) . Teori ini menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah atau konstan. Ini berarti bahwa alam semesta ini tiada berawal (dan tiada berakhir). Akan tetapi seorang astronom bernama Edwin Hubble pada tahun 1929 dengan mempergunakan teropong terbesar di dunia (saat itu) menemukan bahwa masing-masing galaksi di sekeliling kita bergerak menjauhi kita dengan kecepatan yang sebanding dengan posisinya. Ini berarti bahwa semakin jauh suatu galaksi dari kita di bumi semakin cepat galaksi itu menjauhi kita. Jadi, alam semesta ini mengembang. Tidak statis seperti yang dipahami oleh Teori Keadaan Tunak. Secara matematis, bila rG vektor posisi galaksi bernama G diukur dari bumi dan vG kecepatannya (juga diukur dari bumi), maka berlaku

vG = H rG, (3.7)

dengan H adalah sebuah tetapan yang dikenal sebagai tetapan Hubble. Tetapan H merupakan tetapan positif.

2. Andaikan A dan B dua buah vektor sedemikian rupa sehingga A dan B membentuk sudut dan a suatu skalar. Tunjukkanlah bahwa perkalian vektor dengan skalar bersifat distributif, yakni

a(A + B) = aA + aB!

Ada dua hal yang harus ditunjukkan, yaitu bahwa |a(A + B)| = |aA+ aB| dan bahwa a(A + B) searah dengan aA + aB. Dari definisi perkalian vektor dengan skalar, diketahui bahwa |aA| = |a|A dan |aB| = |a|B. Dari persamaan (3.3) didapatkan

|a(A + B)| =|a|| A + B | = |a|

dan

|aA + aB)| =

=

= |a|.

Kedua persamaan ini menunjukkan bahwa |a(A + B)| = |aA+ aB|. Bahwa a(A + B) searah dengan aA + aB dapat ditunjukkan dengan menghitung sudut yang dibentuk oleh vektor aA + aB dengan vektor A dan sudut yang dibentuk oleh vektor a(A + B) dengan vektor A. Pertama, andaikan a positif. Maka aA searah dengan A. Oleh karena itu, sudut antara A dan aA + aB sama dengan sudut antara aA dan aA + aB. Bila sudut yang dimaksud ditulis sebagai , maka berdasarkan persamaan (3.4) dan (3.5) didapatkanlah

sin = =

cos = = .

Karena a positif, maka a(A + B) searah dengan (A + B). Oleh karena itu, sudut antara A dan a(A + B) sama dengan sudut antara A dan (A + B). Bila sudut ini dituliskan sebagai , maka tentu saja

sin =

cos = .

Jadi, = . Artinya, sudut yang dibentuk oleh vektor aA + aB dengan vektor A sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor a(A + B) dengan vektor A. Atau dengan kata lain lagi, a(A + B) searah dengan aA + aB. Bagaimanakah jika a negatif? Hasilnya sama saja.

Latihan Konsep 3.4 :

  1. Mengapa tetapan Hubble harus positif? Apa akibatnya bila tetapan itu negatif?

(Petunjuk : Dari persamaan (3.7), apa yang terjadi dengan vG bila H negatif?)

  1. Andaikan kita berhasil mendarat di sebuah planet di suatu galaksi bernama Aida. Buktikan bahwa pengamatan dari galaksi Aida juga menunjukkan berlakunya rumus Hubble, yaitu bahwa

v’G = H r’G,

dengan r’G adalah vektor posisi galaksi G diukur dari galaksi Aida dan v’G kecepatan galaksi G juga diukur dari galaksi Aida. (Petunjuk : gunakan persamaan (3.7) dan konsep pengurangan vektor)

3.5 Penguraian Vektor

Perhatikanlah vektor F dalam gambar 3.11 (a). Gambar 3.11 (b) menunjukkan bahwa vektor F merupakan jumlahan antara vektor R dan vektor S, yakni F = R + S. Tetapi, gambar 3.11 (c) juga menunjukkan bahwa vektor F merupakan jumlahan dari vektor X dan vektor Y. Apa hanya itu? Adakah sepasang vektor yang lain sedemikian rupa sehingga jumlahan pasangan itu sama dengan vektor F? Ada! Lihatlah gambar 3.11 (d)! Di sana ditunjukkan bahwa vektor F juga merupakan jumlahan dari vektor A dan vektor B.

Dalam gambar 3.11 (b) dikatakan bahwa vektor F diuraikan atas vektor S dan vektor R. Dalam gambar 3.11 (c) vektor F diuraikan atas vektor X dan vektor Y. Sedang dalam gambar 3.11 (d) vektor F yang sama diuraikan atas vektor A dan vektor B. Jadi, terdapat sekian banyak (tak terhingga jumlahnya) pasangan vektor-vektor atas mana vektor F dapat diuraikan. Oleh karena itu, penguraian vektor atas dua vektor yang lain dikatakan tidak tunggal. Sekarang perhatikkan gambar 3.12! Gambar tersebut memperlihatkan kembali penguraian vektor F atas vektor A dan vektor B sebagaimana

telah diperlihatkan dalam gambar 3.11 (d). Hanya saja, dalam gambar 3.12 itu, vektor B diuraikan atas vektor C dan D. Jadi, kita dapatkan

F = B + A = C + D + A.

Jadi, vektor F merupakan hasil jumlahan vektor-vektor C, D dan A. Dengan kata lain vektor F diuraikan atas vektor-vektor C, D dan A. Situasi ini digambarkan secara lebih jelas oleh gambar 3.13.

Baik vektor C, vektor D maupun vektor A dalam gambar 3.30 masih dapat diuraikan menjadi vektor-vektor yang lain. Jadi, sebuah vektor dapat diuraikan atas sekian banyak vektor.

3.5.1 Contoh-contoh

1. Sebuah vektor F memiliki panjang 20 satuan. Vektor tersebut diuraikan atas dua buah vektor (katakanlah vektor A dan vektor B) sedemikian rupa sehingga vektor A membentuk sudut 45 dengan vektor F! Bila panjang vektor A 25 satuan berapakah panjang vektor B? Berapakah sudut yang dibentuk oleh vektor B dengan vektor F?

Untuk menyelesaikan masalah ini perhatikan gambar 3.14. Gambar tersebut memperlihatkan situasi seperti yang disebutkan di atas. Bandingkan gambar 3.14 ini dengan gambar 3.8!

Dari persamaan (3.4) dan (3.5) didapatkan

sin 45 = = =

dan

cos 45 = = = .

Dari kedua persamaan terakhir ini didapatkan

10 = B sin

dan

10 - 25 = B cos .

Oleh karena itu

tg = = -1,302

Maka sudut yang memenuhi persamaan terakhir ini ada dua yakni = 127,516 dan = – 52,484. Untuk = 127,516 diperoleh

B = satuan.

Untuk = – 52,484, situasinya diperlihatkan oleh gambar 3.15. Bila B dihitung, maka didapatkanlah

B = satuan.

Tanda negatif menunjukkan bahwa vektor B seharusnya memiliki arah yang berlawanan terhadap vektor B yang digambarkan dalam gambar 3.15 itu. Jadi, vektor B yang didapatkan untuk

= − 52,484 sama dengan vektor B yang didapatkan untuk = 127,516.

2. Penguraian sebuah vektor atas dua buah vektor yang saling tegak lurus banyak ditemukan dalam berbagai masalah. Untuk itu, andaikan vektor F pada contoh sebelumnya diuraikan atas dua buah vektor lain (katakanlah vektor A’ dan vektor B’) sedemikian rupa sehingga vektor A membentuk sudut 90 dengan vektor B’! Bila panjang vektor A’ 15 satuan, berapakah panjang vektor B’? Berapakah sudut yang dibentuk oleh vektor A’ dengan vektor F’?

Situasi permasalahan ini diperlihatkan dalam gambar 3.16. Berdasarkan gambar itu, tampak bahwa

A = F sin .

Oleh sebab itu tentu saja

cos = A/F = 15/20 = 0,75,

yakni = 41,41. Panjang vektor B diberikan oleh

B = F sin = 20 sin 41,41 = 13,23 satuan.

Latihan Konsep 3.5 :

  1. Dapatkah sebuah vektor diuraikan menjadi dua vektor lain yang lebih besar?

  2. Dapatkah sebuah vektor A diuraikan menjadi dua buah vektor yang semuanya tegak lurus terhadap vektor A?

3.6 Hasilkali Skalar

Andaikan dua buah vektor, yakni vektor V dan vektor W, membentuk sudut sebagaimana yang diperlihatkan dalam gambar 3.17

Hasilkali skalar dari vektor V dan vektor W adalah sebuah skalar yang ditulis sebagai VW yang nilainya diberikan oleh

VW = |V||W| cos . (3.7)

Sekali lagi, VW adalah sebuah skalar yang diperoleh dari vektor V dan vektor W. Selain ditulis sebagai VW, hasilkali skalar dari vektor V dan vektor W dalam beberapa buku juga ditulis sebagai (V,W) atau (V|W) atau V,W atau V|W. Hasilkali skalar sering pula disebut sebagai produk skalar.

Berikut beberapa sifat hasilkali skalar :

  1. Hasil kali skalar bersifat komutatif :

VW = WV. (3.8)

  1. Hasilkali skalar bersifat linier : bila U suatu vektor yang lain, maka untuk sebarang skalar a dan b berlaku

V•(aW + bU) = a(VW) + b(VU). (3.9)

  1. Bila V dan W tegak lurus, maka VW = 0.

  2. Bila sA vektor satuan searah dalam arah vektor A, maka sAV merupakan proyeksi tegaklurus vektor V ke arah vektor A sebab berdasarkan definisi di atas

sAV = |sA||V| cos = |V| cos .

Latihan Konsep 3.6 :

  1. Adakah sebuah vektor yang tegak lurus dengan semua vektor? Berilah alasan!

  2. Mungkinkah anda mendapatkan tiga buah vektor yang terletak pada suatu bidang yang sama saling tegaklurus satu terhadap yang lain?

  3. Bolehkan orang menuliskan UVW, untuk sembarang vektor U, V dan W?

3.7 Hasilkali vektor

Sekali lagi andaikan V dan W dua buah vektor sebarang dan keduanya membentuk sudut .

Hasilkali vektor atau produk vektor dari vektor V dan W adalah sebuah vektor yang hendak ditulis sebagai VW. Sebagaimana yang telah dijelaskan di awal bab ini, untuk mengetahui vektor VW perlu diajukan dua pertanyaan : Berapa besarnya? Ke mana arahnya?

1. Berapa besar VW? Besar vektor VW diberikan oleh persamaan berikut

|VW| = |V||W| sin . (3.10)

2. Ke manakah arah VW? Arah vektor VW diperlihatkan oleh gambar 3.36.

Dalam gambar 3.19 arah VW tegaklurus baik terhadap vektor V maupun terhadap vektor W. Arahnya ditentukan dengan meletakkan sebuah sekerup putar kanan sedemikian rupa sehingga tegkalurus baik terhadap vektor V maupun terhadap vektor W dan memutarnya dari V menuju ke W. Arah maju sekerup adalah arah vektor VW.

Berikut adalah sifat-sifat hasilkali vektor :

  1. Hasilkali vektor bersifat antikomutatif : Untuk sembarang pasangan vektor V dan W berlaku WV = – VW. Artinya, vektor WV merupakan vektor yang besarnya sama dengan vektor VW namun arahnya berlawanan terhadap arah vektor VW. Hal ini diperlihatkan oleh gambar 3.20.

  1. Bila V dan W paralel, maka VW = 0.

  1. Hasilkali vektor memenuhi identitas Jacobi :

Untuk sembarang tiga vektor V, W dan U berlaku :

(VW) U + (WU) V + (UV) W = 0.

  1. Hasilkali vektor bersifat linier :

Bila V, W dan U sembarang tiga vektor, maka untuk sebarang skalar a dan b berlaku

V (aW + bU) = a(VW) + b(VU). (3.11)

  1. | VW | sama dengan luas jajaran genjang yang di batasi oleh vektor V dan vektor W.

Latihan Konsep 3.7 :

  1. Apakah sifat asosiatif berlaku pada hasilkali vektor?

  2. Manakah yang vektor dan manakah yang skalar?

(a) (V•W) U, (b) U•(VW), (c) (VW) •U, (d) ((V•W)U)•F

(e) ((V•W)U)F, (f) ((VW) •U)F, (g) ((VW)U)•F, (h) (V•W)((A•B)U)

  1. Bolehkah orang menulis UVW, untuk sembarang vektor U, V dan W?

Rangkuman (Peta Konsep) :

  • Ada dua pertanyaan yang selalu terkait dengan sebuah besaran vektor, yakni

Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“

Jika kedua pertanyaan itu semuanya selesai dijawab dengan benar, maka telah diperoleh informasi yang lengkap tentang besaran vektor itu.

  • Dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama bila baik besar (magnitude) maupun arahnya sama. Dengan kata lain, dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama bila kedua pertanyaan “Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“ memiliki jawaban yang sama kalau diterapkan untuk kedua besaran itu.

  • Suatu besaran vektor dikatakan konstan bila baik besar maupun arah besaran vektor itu tidak berubah.

  • Dua buah vektor dapat dijumlahkan dengan hasil sebuah vektor lain. Penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif.

  • Jika V sembarang besaran vektor dan suatu skalar (bilangan riil), maka vektor V adalah vektor yang didefinisikan sebagai berikut :

  • jika = 0, maka V merupakan vektor nol,

  • jika < 0, maka V adalah vektor yang arahnya berlawanan terhadap vektor V sedangkan besarnya || kali besar vektor V,

  • jika > 0, maka V adalah vektor yang searah dengan vektor V sedangkan besarnya kali besar vektor V.

Vektor V disebut perkalian vektor V dengan skalar.

  • AB berarti sebuah vektor yang diperoleh dengan menjumlahkan vektor A dengan lawan vektor B

  • Setiap vektor a dapat dituliskan sebagai a = asa, dengan a besar vektor a dan sa vektor satuan yang searah dengan vektor a.

  • Sebuah vektor dapat diuraikan atas sekian banyak vektor dan dengan sekian banyak cara.

  • Hasilkali skalar dari vektor V dan vektor W adalah sebuah skalar yang ditulis sebagai VW yang nilainya diberikan oleh VW = |V||W| cos .

  • VW adalah vektor yang tegaklurus baik terhadap vektor V maupun terhadap vektor W. Arahnya ditentukan dengan meletakkan sebuah sekerup putar kanan sedemikian rupa sehingga tegkalurus baik terhadap vektor V maupun terhadap vektor W dan memutarnya dari V menuju ke W. Arah maju sekerup adalah arah vektor VW. Besar vektor VW adalah |VW| = |V||W| sin .

Kenalilah dunia. Tetapi jangan bersedih jika ternyata dunia tak mengenal anda.”

(Kong Fu Tse)

3.8 Daftar Pustaka Bab 3

  1. Blatt, F.D., 1983, Principles of Physics, second edition, Allyn and Bacon Inc., Boston.

  2. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J., 1997, Fundamental of Physics, fifth edition, John Wiley & Sons, Inc., New York.

  3. Nolan, J. P., 1993, Fundamentals of College Physics, Wm. C. Brown Communications, Inc., Dubugue.

  4. Boas, M.L., 1983, Mathematical Methods in the Physical Sciences, second edition, John Wiley & Sons, Singapore.

3.9 Proyek Kita

Proyek 1 (Eksperimen) :

  1. Susunlah peralatan seperti yang diperlihatkan pada gambar 3.21

  2. Aturlah masing-masing beban dengan variasi sesuai dengan keinginan anda sedemikian rupa sehingga terjadi keseimbangan, yakni bahwa beban yang di tengah tidak bergerak turun.

  3. Ukurlah sudut-sudut yang dibentuk oleh masing-masing tali terhadap bidang datar!

  4. Diskusikan dan analisa hasil data yang anda peroleh.

  5. Berikan kesimpulan dari hasil tersebut.

  6. Bandingkan dengan teori yang yang sudah anda pelajari.

3.10 Soal-soal

3.10.1 Soal Uraian

  1. Dua buah vektor panjangnya 6 dan 9 satuan. Tentukanlah besar dan arah resultan kedua vektor itu bila keduanya membentuk sudut (a) 0, (b) 60, (c) 90, (d) 150 dan (e) 180!

  2. Tentukanlah sudut antara dua buah vektor yang panjangnya 10 dan 15 satuan agar panjang resultannya (a) 20 satuan dan (b) 25 satuan. Buatlah gambar yang sesuai!

  3. Dua buah vektor membentuk sudut 110 satu terhadap yang lain. Salah satu di antaranya memiliki panjang 20 satuan dan membentuk sudut 40 terhadap resultan kedua vektor itu. Tentukanlah panjang vektor kedua dan panjang resultannya!

  4. Andaikan V dan W dua buah vektor yang terletak pada suatu bidang datar sedemikian rupa sehingga vektor V dan W tidak paralel satu dengan yang lain. Tunjukkanlah bahwa persamaan V + W = 0 hanya akan memberi penyelesaian = = 0!

  5. Andaikan A dan B dua buah vektor sembarang. Tunjukkanlah bahwa vektor V yang diperoleh dari

V = B – (A•B)sA,

tegaklurus terhadap vektor A! Jika C sembarang vektor yang lain, tunjukkanlah bahwa vektor W yang diperoleh dari

W = C – (sA•C) sA – (sV•C) sV

tegaklurus terhadap baik vektor sA maupun vektor sV!

  1. Tunjukkanlah bahwa sifat VV = 0 dapat diperoleh dari sifat linier dan antikomutatif hasilkali vektor!

  2. Tunjukkanlah bahwa |V•W| | V || W |!

3.10.2 Soal Pilihan Ganda :

  1. Dua buah vektor yang saling tegak lurus dan keduanya tidak sama dengan nol,maka besar resultantenya,

  1. lebih besar dari kedua vektor tersebut

  2. sama dengan nol

  3. selalu lebih kecil dari kedua vektor tersebut

  4. sama dengan salah satu vector tersebut

Jawab : a

  1. Dua buah vektor dalam satu titik tangkap yang membentuk sudut 1800 dan keduanya tidak sama dengan nol,maka besar resultantenya,

    1. lebih besar dari kedua vector tersebut

    2. sama dengan nol

    3. selalu lebih kecil dari vector yang lebih panjang

    4. selalu sama dengan salah satu vector tersebut

Jawab : c

  1. Dua buah vector yang sejajar dan keduanya tidak sama dengan nol, maka besar resultantenya,

    1. lebih besar dari kedua vector tersebut

    2. sama dengan nol

    3. selalu lebih kecil dari kedua vector tersebut

    4. sama dengan salah satu vector tersebut

Jawab : a

  1. Perhatikan gambar di bawah ini. Kemanakah arah gaya resultan yang dialami bola dalam gambar tersebut ?

    1. ke arah timur laut dengan membentuk sudut tertentu terhadap arah utara

    2. ke arah barat laut dengan membentuk sudut tertentu terhadap arah utara

    3. ke arah barat daya dengan membentuk sudut tertentu terhadap arah utara

    4. ke arah tenggara dengan membentuk sudut tertentu terhadap arah utara

Jawab : b

  1. Sebuah vektor A yang panjangnya 10 satuan membentuk sudut 30° terhadap vektor B yang panjangnya 6 satuan. Tentukan besar selisih vektor A B dan sudut yang dibentuk dengan vektor A.

  1. satuan dan arctan 0,625 + 300

  2. ½ satuan dan arctan 0,625 + 300

  3. satuan dan arctan 0,5 + 300

  4. satuan dan arctan 0,625 – 300

Jawab : a

  1. Vektor A yang besarnya 10 satuan, berbeda arah 600 dengan vektor B yang besarnya 6 satuan, maka hasilkali skalar kedua vektor dan besarnya hasilkali vektor kedua vektor tersebut adalah

  1. 30 dan 30 satuan

  2. 60 dan 60 satuan

  3. 30 dan 30 satuan

  4. 15 dan 15 satuan

Jawab : c

  1. Sebuah vektor D besarnya 25 m dan mengarah ke utara, maka besar dan arah vektor –2D adalah

  1. 50 m dan arahnya ke utara

  2. 50 m dan arahnya ke Timur

  3. 50 m dan arahnya ke Barat

  4. 50 m dan arahnya ke selatan

Jawab : d

  1. Sebuah mobil bergerak 4 km ke timur, kemudian 4 km ke utara dan akhirnya 2,5 km ke arah 450 ke timur dari utara, maka pergeseran total mobil adalah

      1. (4 + 2,5 ) km

      2. ( + 2,5 ) km

      3. (4 −2,5 ) km

      4. (4 ± 2,5 ) km

Jawab : a

  1. Sebuah sepeda bergerak ke arah barat 4 km, kemudian 6 km ke arah utara dan akhirnya 4 km ke arah barat.

  1. 12 km

  2. 8 km

  3. 10 km

  4. 9 km

Jawab : c

  1. Jika a . b = 0, maka pernyataan berikut yang benar adalah

  1. Vektor a dan vektor b saling tegak lurus

  2. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut 450

  3. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut 00 atau 1800

  4. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut sembarang

Jawab : a

  1. Jika a ×b = 0, maka pernyataan berikut yang benar adalah

  1. Vektor a dan vektor b saling tegak lurus

  2. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut 450

  3. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut 00 atau 1800

  4. Vektor a dan vektor b saling membentuk sudut sembarang

Jawab : c.

  1. Vektor a mengarah ke utara dan vektor b mengarah ke timur. Andaikan c sebuah vektor yang didefinisikan dengan c = a x b.

  1. Vektor c mengarah ke utara dan maksimal besarnya ab.

  2. Vektor c mengarah ke timur dan maksimal besarnya ab.

  3. Vektor c mengarah ke bawah dan maksimal besarnya ab.

  4. Vektor c mengarah ke bawah dan besarnya ab.

Jawab : c

  1. Berikut adalah bagan yang dilalui oleh sebuah biskota di suatu kota. Berapakah besar pergeseran total bis kota tersebut mulai dari awal sampai akhir perjalanan?

a. 400m b. 500 m c. 1800 m d. 800 m

Jawab : 800 m

  1. Ke mana arah pergeseran bis kota dalam soal sebelumnya?

a. ke kanan. b. ke atas c. ke bawah d. berubah-ubah

Jawab : a

  1. Berapakah panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bis kota itu?

a. 500m b. 900 m c. 1800 m d. 800 m

Jawab : 1800 m

  1. Perhatikan gambardi saming. Ini adalah gambar seseorang yang sedang memotong rumput dengan alat pemotong rumput. Besarnya komponen gaya ke arah mendatar tergantung pada

        1. b esarnya gaya F saja

        2. besarnya sudut saja

        3. baik besarnya gaya F maupun besarnya sudut

        4. bukan kedua-duanya.

Jawab : c.

About these ads
 
1 Comment

Posted by on 7 October 2008 in Fisika Dasar, Materi Kuliah, Tugas Kuliah

 

One response to “HITUNG VEKTOR

  1. Lina

    26 August 2013 at 7:48 pm

    Mohon bantuannya untuk menyelesaikan soal 3.10 no. 1 dan 2. Terima kasih

     

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: